Algebra II

SS 05 gelesen von Prof. Dr. Bernd Siebert

Vorwort

Das ist meine Mitschrift zur Vorlesung “Algebra II” gelesen von Prof. Dr. Bernd Siebert an der Universität Freiburg im Sommersemester 2005.

Es besteht keine Garantie auf Richtigkeit und/oder Vollständigkeit. Ich möchte mich bei den Leuten bedanken, die mir dabei geholfen haben.

Falls ihr Fehler (jeder Art) findet, oder ein Kommentar oder sonts noch was habt, dann schreibt

bitte an pabloy@pcpool.mathematik.uni-freiburg.de. Der L^{A}TEX-Quellcode findet ihr un-
ter http://pcpool.mathematik.uni-freiburg.de/~pabloy/alg2/. Der Code ist frei verfügbar

und kann jeder Zeit heruntergeladen werden und verändert werden und anschließend eine Kopie weiter veröffentlicht werden. Die einzige Bedingung ist, dass man den Source Code weitergibt, sprich, dass meine Bedingung für alle erhalten bleibt.

Ich habe die Vorlesung “Algebra I” beim PD Dr. Jan-Christoph Schlage-Puchta während des Sommersemesters 2004 gehört. Damit aber eine gewisse Kompatibilität mit dem Stoff von der jetztigen Vorlesung gewährleistet wird, werde ich die Kapitel Nummerierung vom Prof. Dr. Bernd Siebert übernehmen.

Pablo Yánez Trujillo ii

Inhaltsverzeichnis

I Einführung 1

22 Transzendente Körpererweiterungen 3 22.1 Algebraische Abhängigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 22.2 Transzendenzerzeuger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 22.3 Transzendenzbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 22.4 Austauschlemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0 Wiederholung elementarer Ringtheorie 5 0.1 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.2 Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.3 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.4 Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.5 Primideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.6 Lokalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0.7 Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0.8 Ausblick in die Kommutative Algebra und alg. Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

II Kommutative Algebra 11

1 Monomenordnung 13 1.1 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Monomordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 “Leit-”Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Beispiele verschiedener Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Globale und lokale Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Charakterisierung globaler Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Reduktion nach einer Monomordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8 Beispiel einer Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.9 Monomiale Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.10 Idee für den Hilbertschen Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.11 Hilberter Basissatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.12 Standard-Gröbner-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.13 Anwendung - Ideal Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.14 S-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.15 Buchbergers Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.16 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.17 Beweis von 1.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.18 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.19 Buchberger-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.20 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Algebraische Mengen 23

2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Eigenschaften algebraischer Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Abstrakte topologische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Existenz von Nullstellen im alg. absch. Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Lemma (Aus der Körpertheorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Existenz maximaler Ideale I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.7 Existenz maximaler Ideale II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Abbildungsverzeichnis

1 Menge von Exponenten in ℕ^{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Teil I Einführung

1

Kapitel 22

Transzendente Körpererweiterungen

Ziel: Transzendensgrad (etwas wie eine Vektorraum Dimension)

22.1 Algebraische Abhängigkeiten

Definition

Sei L/K eine Körpererweiterung, E ⊂ L heißt algebraisch abhängig über K, wenn a_{1}, …, a_{k} ∈ E, k ≥ 1 existieren und p ∈ K[x_{1}, …, x_{k}] \ {0} mit P (a_{1}, …, a_{k}) = 0. Ansonsten heißt E algebraisch unabhängig.

22.2 Transzendenzerzeuger

Definition

Sei L/K Körpererweiterung, E ⊂ L heißt System von Transzendenzerzeugern über K, wenn L/K(E) algebraisch ist.

Bemerkung:

1. E ⊂ L maximal (bezüglich Mengeninklusion) algebraisch unabhängige Teilmenge ⟹ E ist ein System von Transzendenserzeugern.

2. E ⊂ L minimales System von Transzendenzerzeugern ⟹ E ist algebraisch unabhängig.

22.3 Transzendenzbasen

Definition

Eine Transzendenzbasis ist ein algebraisch unabhängiges System von Transzendenzerzeugern.

4 KAPITEL 22. TRANSZENDENTE KÖRPERERWEITERUNGEN

22.4 Austauschlemma

Lemma Sei L/K eine Körpererweiterung und E ⊂ L ein System von Transzendenzerzeugern. Dann gibt es für jede endliche, algebraische unabhängige Teilmenge A ⊂ L ein F ⊂ E, |F | = |A|, so dass (E \ F) ∪ A System von Transzendenzerzeugern über K.

Beweis: Induktion nach n = |A| , n = 0 (klar) \underline{n ⟶ n + 1} A = \{a_{0}, …, a_{n}\} IV. auf A′ = {a_{0}, …, a_{n−1}} anwenden. ⟹ ∃ F′ ⊂ E, (E \ F′) ∪ A′ System von Transzendenzerzeuger a_{0} ∈ L ⟹ ∃ p ∈ K[X_{0}, …, X_{n}, Y_{1}, …, Y_{r}], b_{1}, …, b_{r} ∈ E \ F′, so dass p(a_{0}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{r}) = 0. O.E.: Sei r minimal (A algebraisch unabhängig ⟹ r ≥ 1)

Q(y) := p(a_{0}, …, a_{n}, y, b_{2}, …, b_{r}) ∈ K(a_{0}, …, a_{n}, b_{2}, …, b_{r})[Y]

Q hat Nullstellen in b_{1}, d.h. b_{1} ist algebraisch über K(a_{0}, …, a_{n}, b_{2}, …, b_{r}). Setze F := F′ ∪ {b_{1}} _{□}

Satz Besitzt L/K ein endliches System von Transzendenzerzeugern über K, so hat L eine Transzendenzbasis über K. Je zwei solcher Transzendenzbasen haben gleich viele Elementen (endlich viele).

Beweis: Formal wie für Basen in der Linearen Algebra.

Definition 22.5

trdeg_{K}L := Anzahl der Elemente einer Transzendenzbasis ∈ ℕ ∪ {∞}

Beispiel: trdeg_{K}L(x_{1}, …, x_{k}) = n Später: ℑ ⊂ K[X_{1}, …, X_{n}] = R Primideal.

V (I) = {x ∈ K^{n} | f(x) = 0 ∀ f ∈ ℑ} (algebraische Menge)

Wir werden dann sehen: K abgeschlossen ⟹ dim V (ℑ) = trdeg_{L}Quot(R/ℑ).

Wiederholung elementarer Ringtheorie

0.1 Ringe

Definition Ringe

Ein Ring (mit Eins) ist eine Menge R mit 2 inneren Verknüpfungen, geschrieben als Addition “+” und Multiplikation “·”, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

(a) R ist eine kommutative Gruppe bezüglich der Addition.

(b) R ist ein Monoid bezüglich der Multiplikation, d.h. die Multiplikation is assoziativ, und es existiert in R ein Einselement bezüglich der Multiplikation (muss nicht zwingend ein multiplikatives inverses Element für jedes Element von R geben).

(c) Es gelten die Distributivgesetze, d.h.

(a + b) · c = a · c + b · c,  c · (a + b) = c · a + c · b),  für a, b, c ∈ R

Bemerkung: “Mit Eins” bedeutet nicht die Zahl 1, sondern um das 1-Element, das multiplikativ neutrale Element eines Monoides(Gruppe)/Ringes.

Beispiele:

1. Körper ℚ, ℝ, ℂ, 𝔽_{p} = ℤ/p, 𝔽_{p^{r}} = 𝔽_{p}[X]/(f), deg f = r, f irreduzibel über 𝔽_{p} ℚ(α_{1}, …, α_{r}) ⊂ ℂ, α_{i} ∈ ℂ

• R/𝔪, R Ring, 𝔪 maximales Ideal. 𝔪 heißt maximal, wenn für alle Ideale 𝔞 ⊂ R, für die gilt: 𝔪 ⊂ a ⊂ R ⟹ 𝔞 = R

• Quot(R), R Integritätsbereich

2. Polynomringe: K[T], R[T], K[T_{1}, …, T_{n}] = (K[T_{1}, …, T_{n−1}])[T_{n}] = K[ℕ^{r}]

3. Monoidringe: (M, +) Monoid, R Ring

R[M] = { ∑_{m∈M} a_{m}χ^{m} | a_{m} ∈ R, a_{m} ≠ 0 nur endlich oft}

4. Faktorringe: R/ℑ, ℑ ⊂ R, ℑ Ideal, etwa ℂ[X, Y, Z]/(XY − Z^{2})

Im folgenden: Alle Ringe seien kommutativ mit Eins (1=0 möglich beim Nullring)

6 KAPITEL 0. WIEDERHOLUNG ELEMENTARER RINGTHEORIE

0.2 Ideale

Ideale: ℑ ⊂ R : ℑ + ℑ ⊂ ℑ, R · ℑ ⊂ ℑ Bemerkung: Wenn 1 ∈ ℑ ⟹ ℑ = R, ansonsten ist ℑ nie ein Ring. Jede Teilmenge S ⊂ R erzeugt ein Ideal

𝔰 = (S) = {a_{1}s_{1} + ⋯ + a_{r}s_{r} | a_{i} ∈ R, s_{i} ∈ S}

Unsere Ringe haben die Eigenschaft, dass jedes Ideal endlich erzeugt ist, d.h. 𝔰 = (S), S endlich. (folgt aus der Eigenschaft “Noethersch” für Polynomringe: Hilbertscher Basissatz)

Abbildung 1: Menge von Exponenten in ℕ^{2}

Beispiele: 1. Sei Γ ⊂ ℕ^{r} Menge von Exponenten. ℑ = (x_{1}^{i_{1}}, …, x_{r}^{i_{r}})_{(i_{1},...,i_{r})∈Γ} ist endlich erzeugt gdw.

{γ + ℝ_{≥0}^{r} | γ ∈ Γ} ⊂ ℝ_{≥0}^{r}

hat endlich viele Ecken (Siehe Abbildung 1, die rote Punkte entlang der blauben Linie). Dies ist stets wahr (Beweis: später).

2. R = K[ℚ_{>0}]. α_{i} ∈ ℚ, (α_{i})_{i∈ℕ} streng monoton fallend, ℑ = (χ^{α_{i}}) nie endlich erzeugt. Hauptideale: 𝔞 Ideal, 𝔞 = (a), a ∈ R. Hauptidealring: jedes Ideal eines solchen Ringes ist ein Hauptideal. Beispiel: (eukdlidische Ringe) ℤ, K[T] aber i.a. nicht R[T]

0.3 Homomorphismen

Sei φ : R ⟶ R ein Homomorphismus, dann gilt für alle a, b ∈ R:

• φ(a + b) = φ(a) + φ(b)

• φ(a · b) = φ(a) · φ(b)

• φ(1) = 1 0.4. ALGEBREN 7

Kr(φ) = φ^{−1}(0) ⊂ R ist ein Ideal.

R ↠ R/Kr(φ) ⟶^{\overline{φ}} imφ ↪ S

ist die kanonische Quotienten Abbildung. Beispiel: φ : R[T] ⟶ S ⟺ φ_{0} : R ⟶ S, a ∈ S φ ⟼ (φ_{0} = φ ↾_{R}, a = φ(T)) (∑ α_{i}T^{i} ⟶ ∑ φ_{0}(α_{i})α^{i}) ⟵ (φ_{0}, a) Sei φ : R ⟶ S ein Homorphismus: Es gilt:

1. R′ ⊂ R Unterring ⟹ φ(R′) ⊂ S Unterring

2. S′ ⊂ S Unterring ⟹ φ^{−1}(S′) ⊂ R Unterring

3. ℑ ⊂ S Ideal ⟹ φ^{−1}(ℑ) ⊂ R Ideal

4. ℑ ⊂ R Ideal ⟹^{?} φ(ℑ) ⊂ R Ideal φ surjektiv. Beispiel: φ : K[X] ⟶ K[X, Y], X ⟶ X.

(x) = {x · f | f ∈ f[X]} , φ(x) = {x · f | f ∈ K[X]} ⊂ K[X, Y] ist kein Ideal. ⟹ müssen i.a. das von φ(ℑ) ⊂ S erzeugte Ideal.

0.4 Algebren

Definition

(a) Sei R ein Ring. Eine R-Algebra ist ein Ring S zusammen mit einem Homomorphismus R ⟶ S.

(b) Eine R-Algebra S heißt endlich erzeugt, wenn es a_{1}, …, a_{k} ∈ S gibt, so dass

R[T_{1}, …, T_{k}] ⟶ S, t_{i} ⟶ a_{i}

surjektiv ist.

Beispiel: S endlich erzeugte K-Algebra ⟺ S = K[T_{1}, …, T_{k}]/ℑ

0.5 Primideale

Definition

𝔭 ⊂ R Primideal :⟺ (ab ∈ 𝔭 ⟹ a ∈ 𝔭 oder b ∈ 𝔭) ⟺ R/𝔭 ein Integritätsbereich ist.

Beispiel:

1. (n) ⊂ ℤ Primideal ⟺ n prim ist.

2. ℑ = (XY) ⊂ K[X, Y] ist kein Primideal (XY ∈ ℑ, X ∉ ℑ, Y ∉ ℑ)

3. (f) ⊂ K[X_{1}, …, X_{n}] Primiedeal ⟺ f unzerlegbar, gilt allgemein in faltoriellen Ringen

4. φ : R ⟶ S, 𝔭 ⊂ S Primideal ⟹ φ^{−1}(𝔭) ⊂ R Primideal [Übung] 8 KAPITEL 0. WIEDERHOLUNG ELEMENTARER RINGTHEORIE

5. “Alles andere gilt i.a. nicht” 𝔭_{1} + 𝔭_{2}, 𝔭_{1} ∩ 𝔭_{2}, S · φ(𝔭) keine Primideale

• 𝔭_{1} = (x^{2} + y^{2} − z^{2}), 𝔭_{2} = (z)

𝔭_{1} + 𝔭_{2} = (x^{2} − y^{2} − z^{2}, z) = (x^{2} − y^{2}, z)

(x + y) · (x − y) ∈ 𝔭_{1} + 𝔭_{2}, aber x + y, x − y ∉ 𝔭_{1} + 𝔭_{2} • 𝔭_{1}(X), 𝔭_{2}(Y) ⊂ K[X, Y]

𝔭_{1} ∩ 𝔭_{2} = (XY), X · Y ∈ 𝔭_{1} ∩ 𝔭_{2}, x ∉ 𝔭_{1} ∩ 𝔭_{2}, y ∉ 𝔭_{1} ∩ 𝔭_{2} • φ : K[T] ⟶ K[X, Y], T ⟶ XY

𝔭 = (T), K[X, Y] · φ(𝔭) = (X · Y) ist kein Primideal

6. Maximale Ideale sind Primideale.

0.6 Lokalisierung

A ⊂ R multiplikativ abgeschlossen: A · A ⊂ A A^{−1}R := R × A/ ∼ mit (a, b) ∼ (a′, b′) :⟺ ∃ c ∈ A : c(ab′ − a′b) = 0. Schreibweise: [(a, b)] = a/b = \frac{a}{b} A^{−1}R wird Ring vermöge a/b + c/d := (ad + bc)/bd; (a/b) · (c/d) := ac/bd. Es ist wohlefiniert: a/b = a′/b′ = a · (ab′ − b′a) = 0 für ein e ∈ A.

a′c/b′d =^{!} ac/bd ⟸ e · (a′cbd − acb′d) = cde(a′b − ab′) = 0

Speziellfälle:

1. R Integritätsbereich; A := R \ {0}, A^{−1}R = Quot(R) Quotientenkörper.

2. A ist nicht abgeschlossen: ab Nullteiler ⟹ ∃ c ∈ R \ {0}, abc = 0 und es gilt

bc = 0 ⟹ b Nullteiler
bc ≠ 0 ⟹ a(bc) = 0, also a ist Nullteiler

Quot(R) := A^{−1}R totler Quotientenring von R. Beispiel: R = K[X, Y]/(X, Y), A = {f | x ∤ f, y ∤ f} , Quot(R) = {(f_{1}/g_{1}, f_{2}/g_{1}) ∈ K[X, Y]} g_{1}(0) ≠ 0 ⟹ g_{2}(0) ≠ 0 und \frac{f_{1}(0)}{g_{1}(0)} = \frac{f_{2}(0)}{g_{2}(0)}. Quot(K[X, Y]/(XY)) ⋍ K(X) × K(Y), \frac{x+y}{x−y} ⟶ (1, −1) = (y = 0, x = 0)

3. Lokalisierung an einem Element f ∈ R, A := ⟨f⟩ = {f^{n} | n ∈ ℕ} , R_{f} := A^{−1}R Diskussion: R ⟶ R_{f}, a ⟶ a/1, Kr(R ⟶ R_{f}) = {a ∈ ℝ | ∃ n : f^{n}a = 0} =: ℑ [Übung: R_{q} ⋍ (R/ℑ)_{f}] Insbesondere R ⟶ R_{f} injektiv, gdw. f nicht Nullteiler ist. In diesem Fall R_{f} ⋍ R[T]/(T f − 1) Beweis: φ : R[T] ⟶ R_{f}, T ⟶ 1/f φ ist offensichtlich surjektiv, aT^{n} ⟶ a/f^{n}, Kr(φ) = (T f − 1), g = b_{0} + b_{1}T + ⋯ + b_{r}T^{r} ∈ Kr(φ)

0.7. MODULN 9

φ nicht Nullteiler  ⟺  \frac{b_{0}}{1} + \frac{b_{1}}{f} + ⋯ + \frac{b_{r}}{f^{r}} = 0 in R
⟺  4 Nullstelle in h = b_{0}U^{r} + b_{1}U^{r−1} + ⋯ + b_{r} ∈ R[U]

Polynomdivision

⟺ h = (U − f) · h_{1}

⟺  U − fT | b_{0}U^{r} + b_{1}U^{r−1}T + ⋯ + b_{r}T^{r}
⟺  1 − fT | g
⟺  g ∈ (1 − fT)

4. Lokalisierung an einem Primideal 𝔭

A = R \ 𝔭 multiplikativ abgeschlossen. R_{𝔭} := A^{−1}R etwa 𝔭 = (x) ⊂ K[X], dann

K[X]_{𝔭} = \{\frac{f}{g} | XXg\} = \{\frac{f}{g} | g(0) ≠ 0\}

Vorsicht: K[X]_{X} ≠ K[X]_{(X)}, da K[X]_{X} = (⟨x⟩)^{−1}K[X] und K[X]_{(X)} = ((K[X]/(X))^{−1}K[X].

0.7 Moduln

Ein Modul ist ein Vektorraum über einen Ring. Definition R-Moduln

Ein R-Modul ist eine kommutative Gruppe (M, +, ∘) zusammen mit einer Abbidldung R × M ⟶ M, (a, m) ⟶ (a · m) = am mit folgenden Eigenschaften: ∀ a, b ∈ R, ∀ m, n ∈ M :

\begin{aligned}(a + b)m & = & am + bm \\ (ab)m & = & a(bm) \\ 1m & = & m \\ a(m + n) & = & am + an \end{aligned}

Erlaubt die Uniforme Behandlung folgender bekannter Speziallfälle.

1. R = K, R−Modul = K = V \ R.

2. ℑ ⊂ R, ℑ Ideal ist ein R-Modul.

3. R/ℑ ist R-Modul.

4. φ : R ⟶ S macht es zu R-Modul.

5. Abelsche Gruppe sind ℤ-Module, n · g = \underbrace{g + ⋯ + g}_{n}

6. K-VR V mit A ∈ End(V) sind K[X] Module. Man definiert Untermoduln, Modulhomomorphismen und Quoteintenmoduln analog zu den entsprechenden VR-Begriffen. Definition

(a) Ein R-Modul heißt endlich erzeugt, gdw. ∃ a_{1}, …, a_{n} ∈ M mit M = Ra_{1} + ⋯ + Ra_{n} [d.h. es existiert ein Epimorphismus (Surjektion) aus R^{n} ⟶ M; e_{i} ⟼ a_{i}]

(b) Ein zyklischer R-Modul wird von einem Element erzeugt. [ ⟹ M ≃ R/ℑ vermöge R ⟶ M, 1 ⟼ a, wobei a der Erzeuger ist]

10 KAPITEL 0. WIEDERHOLUNG ELEMENTARER RINGTHEORIE

0.8 Ausblick in die Kommutative Algebra und alg. Geometrie

Klasische Algebraische Geometrie ℑ = (f_{1}, …, f_{r}) ⊂ K[X_{1}, …, X_{n}] V (ℑ) := {x ∈ K^{n} | f(x) = 0; ∀ f ∈ ℑ} = V (f_{1}) ∪ ⋯ ∪ V (f_{r}) ist eine algebraische Menge. Wenn K = ℂ oder irgendein abgeschlossener Körper, so liefert ℑ ⟶ V (ℑ) ein Lexikon kommutativer Algebra ↔ Geometrie.

(Radikal-)Ideale ⊂ R ↔^{1:1} algebraischer menge ⊂ K^{n} [Hilbertscher Nullstellensatz]
Primideale ↔^{1:1} unzerlegbarer algebraischen Menge^{∗} (=algebraische Varietät)
R/ℑ ↔ algebraischen Funktionen auf V (ℑ)
Quot(R/ℑ) ↔ rationalen Funktionen auf V (ℑ)
h ∈ R, R_{h} ↔ algebraischen Funktionen auf K^{n} \ V (h) = {x ∈ K^{n} | h(x) ≠ 0}
maximale Ideake 𝔪 ⊂ ℑ ↔ (a_{1}, …, a_{n}) ∈ V (ℑ)

(x_{1} − a_{a}, …, x_{n} − a_{n})

∗ M algebraische Menge. M zerlegbar, gdw es existieren A, B ⊂ M, so dass gilt: M = A ⨄ B und A, B algebraisch. Moderner Standpunkt (ab ∼1960, Grothendieck 1958 - 1970)

Definition

Sei R ein Ring. Das “ Spektrum” von R ist definiert durch

Spec R := {𝔭 ⊂ R Primideal}

Für beliebige Ringe R ersetze K^{n} durch das “Spektrum” von R^{n} versehen mit der Zariski-Topologie. Benutze den geometrischen Fall R = K[X_{1}, …, X_{n}]/ℑ als leitende Intuition; liefert auch neue Ergebnisse für diesen Fall.

Teil II

Kommutative Algebra Monomenordnung

Monomenordnungen sind ein zentrales Hilfsmittel zur algorithmischen Behandlung von Polynomen in mehreren Veränderlichen.

Kovention: In K[X_{1}, …, X_{n}] schreibe X^{α} := X_{1}^{α_{1}} ⋯ X_{n}^{α_{n}} für α = (α_{1}, …, α_{n}) verträglich mit K[ℕ^{n}] ≃ K[X_{1}, …, X_{n}].

1.1 Ordnungen

Definition

(a) Eine Teilordnung auf einer Menge M ist eine Relation ≤ für gewiesse Paare (x, y) ∈ M × M mit

\begin{aligned}x ≤ y, y ≤ z & ⟹ & x ≤ z \\ x ≤ y, y ≤ x & ⟺ & x = y. \end{aligned}

(b) Eine Ordnung ist eine Teilordnung, die für alle Paaren definiert ist.

(c) Eine Wohlordnung ist eine Ordnung, bei der jede Teilmenge S ⊂ M ein kleinstes Element besitzt, d.h. ∃ x ∈ S : ∀ y ∈ S : x ≤ y.

Beispiele:

1. Sei N eine Menge, M = 𝔓(N), A, B ⊂ N, A ≤ B :⟺ A ⊂ B ist eine Teilordnung.

2. (ℤ, ≤) Ordung, keine Wohlordnung.

3. (ℕ, ≤) Wohlordnung.

4. M = ℕ^{n}, (α_{1}, …, α_{n}) ≤ (β_{1}, …, β_{n}) :⟺ α_{i} ≤ β_{i} ∀ i ist eine Teilordnung. Die Bezeichnung für diese Relation ist: “≤_{nat}”

Konvention: x < y :⟺ x ≤ y, x ≠ y.

1.2 Monomordnung

Definition

Eine Monomordnung auf K[X_{1}, …, X_{n}] ist eine Ordnung ≤ auf ℕ^{n} mit der Eigenschaft:

α ≤ β, γ ∈ ℕ^{n} ⟹ α + γ ≤ β + γ.

14 KAPITEL 1. MONOMENORDNUNG

Bemerkung: Diese induzierte eine Ordnung auf den Monomen von K[X_{1}, …, X_{n}], X^{α} ≤ X^{β} :⟺ α ≤ β.

1.3 “Leit-”Begriffe

Definition

Sei ≤ eine Monomordnung und f = a_{α_{1}}X^{α_{1}} + ⋯ + a_{α_{d}}X^{α_{d}} ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] mit α_{1} > ⋯ > α_{d}. Wir nennen:

(a) LM(f) := X^{α_{1}}: Leitmonom von f

(b) LE(f) := α_{1}: Leitexponent von f

(c) LT(f) := a_{α_{1}}X^{α_{1}}: Leitterm von f

(d) LK(f) := a_{α_{1}}: Leitkoeffizient von f.

1.4 Beispiele verschiedener Ordnungen

1. (Reine) Lexikographische Ordnung (lex,lp)

X^{α} >_{lp} X^{β} :⟺ ∃ i : α_{1} = β_{1}, …, α_{i−1} = β_{i−1}, α_{i} > β_{i} d.h. der erste Verschiedene Eintrag (von links) ist größer. Beispiel:

(a) XY^{2} >_{lp} Y^{3}Z^{4}

(b) X^{3}Y^{2}Z^{4} >_{lp} X^{3}Y^{2}Z

2. Graduiert revers-lexikographische Ordnung (grevlex,dp) X^{α} >_{dp} X^{β} :⟺ deg X^{α} = ∑ α_{i} > deg X^{β} = ∑ β_{i} oder deg X^{α} = deg X^{β} und ∃ i : α_{i} < β_{i}, α_{i+1} = β_{i+1}, …, α_{n} = β_{n} Beispiel:

(a) X^{4}Y^{4}Z^{7} >_{dp} X^{5}Y^{5}Z^{4}, weil 4 + 4 + 7 > 5 + 5 + 4

(b) XY^{5}Z^{2} >_{dp} X^{4}Y Z^{3}, weil i = n

(c) X^{4}Y Z >_{dp} X^{3}X^{2}Z, weil i = n − 1

3. Negative lexikographische Ordnung (neglex,ls)

X^{α} >_{ls} X^{β} :⟺ X^{β} >_{lp} X^{α} Beispiel:

(a) ∀ α ≠ 0 : 1 > X^{α}

1.5 Globale und lokale Ordnung

Definition

Eine Monomordnung < heißt • global, falls ∀ α ≠ 0, X^{α} > 1

• lokal, falls ∀ α ≠ 0, 1 > X^{α}

• gemischt, falls sonst

Beispiel: 1.4, a,b: globale; 1.4 c: lokal

1.6 Charakterisierung globaler Ordnung

Satz Für eine Monomenordnung > auf K[X_{1}, …, X_{n}] sind äquivalent:

(a) > ist global[∀ α ≠ 0, X^{α} > 1]

(b) ∀ i : X_{i} > 1

(c) “>” ist Wohlordnung

(d) α >_{nat} β ⟹ X^{α} > X^{β}

Beweis: a) ⟶ b): trivial

b) ⟶ c): Sei S ⊂ ℕ^{n}. Zu zeigen: es existiert kleinstes Element bzgl <. Nach dem Dicksons Lemma existiert ein B ⊂ S endlich mit S ⊂ B + ℕ^{n}. Sei α ∈ B kleinstes Element [B endlich]. Dann gilt: ∀ β ∈ S ∃ γ ∈ B mit β ∈ γ + ℕ^{n} und β ≥ γ ≥ α und eine Ungleichung strikt, falls β ≠ α c) ⟶ d): Angenommen α >_{nat} β und X^{α} < X^{β} ⟹ γ := α − β ∈ ℕ^{r} \ {0}, und X^{α} < 1 [wäre X^{γ} > 1 : X^{α} = X^{γ+β} > X^{β} Widerspuch] S := ℕ · γ ⊂ ℕ^{r} hat kein kleinstes Element, Widerspruch, da 1 > X^{γ} > X^{2γ} > ⋯

d) ⟶ a) ∀ α ∈ ℕ^{r} \ {0} ⟹ X^{4} > X^{0} = 1 _{□}

1.7 Reduktion nach einer Monomordnung

(Auch Teilen mit Rest in K[X_{1}, …, X_{n}])

Definition

Sie f = a_{α_{1}}X^{α_{1}} + ⋯ + a_{α_{d}}X^{α_{d}} ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] heißt reduziert bzgl. G ⊂ K[X_{1}, …, X_{n}], falls ∀ g ∈ G : LM(g) ∤ X^{α_{i}}, i = 1, …, d

Algorithmus (Divisionalgorithmus)

Sei < eine globale Monomordnung.

Eingabe: f ∈ K[X_{1}, …, X_{n}], g_{1}, …, g_{s} ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] Ausgabe: a_{1}, …, a_{s}, r ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] f = a_{1}g_{1} + ⋯ + a_{s}g_{s} + r und r ist reduziert bezüglich g_{1}, …, g_{s}. Schritt 1: Falls LT(g_{1}) | LT(f) ⟹ f = a′_{1}g_{1} + h′ mit a′_{1} = \frac{LT(f)}{LT(g_{1})} Falls LT(g_{1}) | LT(h′) ⟹ f = a′′_{1}g_{1} + h′′ mit a′′_{1} = a′_{1} + \frac{LT(h′)}{LT(g_{1})} Usw, liefert f = a_{1}g_{1} + h und LT(g_{1}) ∤ LT(h)

Wiederhole diesen Schritt mit g_{2}, . . . , g_{s}.

Ergebnis: f = a_{1}g_{1} + ⋯ + a_{s}g_{s}, LT(g_{i}) ∤ LT(r_{i}) ∀ i

Schritt 2: Wiederhole Schritt 1 mit f_{1} = r_{1} − LT(r_{1}) statt f

, ⟹ f = a_{1}g_{1} + ⋯ + a_{s}g_{s} + LT(r_{1}) + r_{2} [andere a_{i}]

weiter mit f_{2} = r_{2} − LT(r_{2}) usw, also

f = a_{1}g_{1} + ⋯ + a_{s}g_{s} + \underbrace{LT(r_{1}) + ⋯ + LT(r_{k})}_{=r}

f nach g_{1}, …, g_{s} reduzieren, f = a_{1}g_{1} + ⋯ + a_{s}g_{s} + \underbrace{LT(r_{1}) + ⋯ + LT(r_{k}}_{=r} + \underbrace{r_{k+1}}_{=0}.

LT(r_{1}) > LT(r_{2}) > ⋯ Der Algorithmus bricht ab, da > Wohlordnung. Bemerkung: Das Ergbnis a_{1}g_{1}, …, a_{s}g_{s}, r hängt von der Reihenfolge g_{1}, …, g_{s}.

1.8 Beispiel einer Reduktion

f = X^{Y} + XY^{2} + Y^{2}, g_{1} = XY − 1, g_{2} = Y^{2} − 1, <_{nat} gegeben. Schritt 1: [f durch g1 teilen]:

X^{2}Y + XY^{2} = \underbrace{(X + Y)}_{=a_{1}}(XY − 1) + \underbrace{X + Y + Y^{2}}_{=h}

[h durch g_{2} teilen] schon OK, d.h. r_{1} = X + Y + Y^{2} [f_{1} durch g_{1} teilen] ok [f_{1} duch g_{2} teilen] Y^{2} + Y = 1 · (X^{2} − 1) + \underbrace{Y + 1}_{=r_{2}}

Resultat: X^{2}Y + XY^{2} + Y^{2} = (X + Y)(XY − 1) + 1 · (Y^{2} − 1) + X + Y + 1

1.9 Monomiale Ideale

Definition

Ein Ideal ℑ ⊂ K[X_{1}, …, X_{n}] heißt monomial, falls S ⊂ ℕ^{n} existiert mit ℑ = (X^{α})_{α∈S}

Beispiel: 𝔍 ⊂ K[X_{1}, …, X_{n}] beliebiges Ideal, so ist (LM(f))_{f∈S} = (LM(𝔍)) monomial (hängt von der Relation < ab).

Satz Monomial Ideale in K[X_{1}, …, X_{n}] entsprechen in eindeutiger Weise Teilmengen S ⊂ ℕ^{n} mit 𝔍 = S + ℕ^{n} vermöge

𝔍 ⟼ (X^{α})_{α∈S} = {∑_{α∈S} a_{α}X^{α}}

Beweis: Klar!

ℑ monomial ⟹ ℑ = (X^{α}). X^{α} ∈ ℑ ⟹ ∀ β ∈ ℕ^{n} : X^{α+β} ∈ ℑ, d.h. (X^{α})_{α∈S} = (X^{α})_{α∈S′+ℕ^{n}}, S := S′ = ℕ^{n}

1.10 Idee für den Hilbertschen Satz

Ersetze ℑ durch (LM(ℑ)) = (X^{α})_{α∈LE(ℑ)} und zeige LE(ℑ) ⊂ ℕ^{n} “endlich erzeugt”, d.h. ex existiert ein B ⊂ LE(ℑ) endlich mit LE(ℑ) = B + ℕ^{n}.

Lemma (Dicksons Lemma) Für S ⊂ ℕ^{n} existiert eine endliche Menge B ⊂ S mit S ⊂ B + ℕ^{n}. B ist ein erzeugendes System.

Mit anderen Worten: ∀ α ∈ S ∃ β ∈ B : β ≤_{nat} α

Beweis: Induktion nach n (S ≠ ∅)

\underline{n = 1} α : 0 min S, B = {α}

\underline{n − 1 ⟼ n} Betrachte die Projektion auf der n − 1. ersten Koordinate P r_{n} : ℕ^{n} ⟶ ℕ^{n−1}, (α_{1}, …, α_{n}) ⟼ (α_{1}, …, α_{n−1}). M_{i} := P r_{n}(S ∩ (ℕ^{n−1} × {i})) n − i. Schicht.

Induktion Vor. ⟹ ∃ B_{i} ⊂ M_{i} ⊂ ℕ^{n−1} endlich erzeugtes System. Weiter betrachte die Vereinigung

⋃_{i=0}^{s} B_{i} × {i}.

Zu zeigen: B ist Erzeugendessystem von S, S ⊂ B + ℕ^{,} α = (α′, j) sin S.

α′ ∈ M_{j} ⊂ B_{j} + ℕ^{n−1}

α′ ∈ γ + ℕ^{n−1} für ein γ ∈ B_{j}.

Fall 1: j ≤ s ⟹ (α′, j) ∈ (γ, j) + ℕ^{n−1} × {0} ⊂ B + ℕ^{n} Fall 2: j > s ⟹ ∃ γ′ ∈ B′ ∩ B_{i}, i ≤ s mit α′ ∈ γ′ + ℕ^{n−1}, also (α′, j) ∈ (γ′, i) + (ℕ^{n−1} × {j − i}) ⊂ B + ℕ^{n} _{□}

1.11 Hilberter Basissatz

Satz (Hilberter Basissatz) Jedes Ideal ℑ ⊂ K[X_{1}, …, X_{n}] ist endlich erzeugt.

Beweis: Sei < eine lexikopgraphische Ordnung. Nach dem Dicksons Lemma existieren g_{1}, …, g_{s} ∈ ℑ mit {LE(g_{1}), …, LE(g_{s})} + ℕ^{n} = LE(ℑ) ⟹ (LM(g_{1}), …, LM(g_{s})) = (LM(ℑ))

Dann gilt ℑ = (g_{1}, …, g_{s}) :

f ∈ ℑ : Nach Division existieren a_{1}, …, a_{s}, r, f = a_{1}g_{1} + ⋯ + a_{s}g_{s} + r und LM(g_{i}) teilt kein monom von r für i ∈ {1, …, s}.

Aber r = f − a_{1}g_{1} − ⋯ − a_{s}g_{s} ∈ ℑ. Wäre r ≠ 0, dann LM/r) ∈ (LM(ℑ)) = (LM(g_{1}), …, LM(g_{s})) (Widerspruch)

⟹ r = 0

Bemerkung: Das letzte Argument im Beweis zeigt auch, dass 𝔊 ⊂ ℑ das Ideal erzeugt, falls (LM(𝔊)) = (LM(ℑ)) ⟺ LE(ℑ) ⊂ LE(𝔊) + ℕ^{n}.

[Diese Eigenschaft hängt von der Ordnung < ab].

1.12 Standard-Gröbner-Basen

Definition

Sei < eine Monomordnung und ℑ ⊂ K[X_{1}, …, X_{n}]. G = {g_{1}, …, g_{s}} ⊂ ℑ heißt Standardbasis für ℑ, falls LE(ℑ) < LE(G) + ℕ^{n}

Ist < global, so redet man auch von den Gröbnerbasen.

Existenz: aus dem Beweis des Hilbertschen Satzes Eindeutigkeit: Ja für reduzierte Standardbasen, d.h. g_{i} reduziert bzgl. G \ {g_{i}} ∀ i

Bemerkung: Diese bestimmung einer Standardbasis ist nicht offensichtlich.

Beispiel: ℑ = (X^{3} − 2XY, X^{2}Y + X − 2X^{2})

Standardbasis bzgl. <_{lp} X^{3}; X − 2Y^{2}
<_{dp} 2Y^{2} − X; XY; X^{2}
<_{ls} 2Y^{2} − X − XY; 2XY − X^{3}; X^{2}

1.13 Anwendung - Ideal Test

Der Beweis des Hilbertschen Satzes zeigt auch:

Satz Sei G = {g_{1}, …, g_{s}} Standardbasis bzgl <. Für ℑ ⊂ K[X_{1}, …, X_{n}], f ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] und f = a_{1}g_{1} + ⋯ + a_{s}g_{s} + r die Reduktion von f nach g_{1}, …, g_{s} gilt:

f ∈ ℑ ⟺ r = 0

Bemerkung: Falls G nur ℑ erzeugt, ist dies i.a. nicht richtig.

1.14 S-Polynome

Wann ist {g_{1}, …, g_{s}} Standardbasis für (g_{1}, …, g_{s})? Antwort: 1.15

Problem: Für p, q ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] undi, j lässt sich LT(pg_{i} − qg_{j}) schwer kontrollieren. Natürliche Kandidaten: S(g_{i}, g_{j}).

Definition

Sei < eine Monomordnung auf K[X_{1}, …, X_{n}] und f, g ∈ K[X_{1}, ….X_{n}].

S-Polynome von f, g:

S(f, g) := \frac{X^{γ}}{LT(f)} · f − \frac{X^{γ}}{LT(g)} · g

mit γ := (max{α_{1}, β_{1}}, …, max{α_{s}, β_{n}}) , α = LE(f), β = LE(g).

Beispiel: S(XY − 1, Y^{2} − 1) = \frac{XY^{2}}{XY} (XY − 1) − \frac{XY^{2}}{Y} (Y^{2} − 1) = (XY^{2} − Y) − (XY^{2} − X) = X − Y.

1.15 Buchbergers Kriterium

Satz (Buchbergers Kriterium) Sei < eine Monomordnung auf K[X_{1}, …, X_{n}], G = {g_{1}, …, g_{s}} ist eine Standardbasis für (G) gdw, ∀ i, j : LM(S(g_{i}, g_{j})) ∈ (LM(g_{1}), LM(g_{2})).

Beweis: “ ⟹ ” S(g_{i}, g_{j}) ∈ (G), benutze Definition von den Standardbasen.

“⟸” 1.17 für globale Monomordnungen.

1.16 Lemma

Lemma Seien a_{i} ∈ K, f_{i} ∈ K[X − 1, …, X_{n}], LE(f_{i}) = δ ∈ ℕ^{n} über < (< Monomordnung), (∗) LE(∑ a_{i}f_{i}) < δ. Dann gilt:

∀ i, j LE(S(f_{i}, f_{j}))

(ACHTUNG: NICHT VOLLSTÄNDIG, ICH VERSTEHE AN DIESER STELLE MEINER AUFZEICH-NUNGEN NICHT.)

Beweis: o.E. LK(f_{i}) = 1

S(f_{i}, f_{j}) = \frac{X^{δ}}{X^{δ}} f_{i} − \frac{X^{δ}}{X^{δ}} f_{j} = f_{i} − f_{j} hat LK < δ

∑ a_{i}f_{i} = a_{1}(f_{1} − f_{2}) + (a_{1} + a_{2})(f_{2} − f_{3})
+ (a_{1} + a_{2} + a_{3})(f_{3} − f_{4}) + ⋯ + (a_{1} + ⋯ + a_{5−1})(f_{5−1} − f_{5})
+ \underbrace{(a_{1} + ⋯ + a_{5})}_{=0} f_{5}

(∗) ⟹ a_{1}S(f_{1}, f_{2}) + (a_{1} + a_{2})S(f_{2}, f_{3}) + ⋯ + (a_{1} + ⋯ + a_{5−1})S(f_{5−1} − f_{5}) _{□}

1.17 Beweis von 1.15

Beweis: “⟸”: z.z. f ∈ (g_{1}, …, g_{2}) ⟹ LM(f) ∈ (LM(g_{1}), …, LM(g_{s})) sofern LM(S(g_{i}, g_{j})) ∈ (LM(g_{1}), …, LM(g_{s})). Schreibe f = ∑_{i=1}^{s} h_{i}g_{i} mit δ := max{LE(h_{i}, g_{i})} minimal bzgl. aller solcher Darstellungen und behaupte (∗) δ = LE(f) Falls dies korrekt ist, dann existiert ein i mit LE(f) = LE(h_{i}, g_{i}) = LE(h_{i}) + LE(h_{i}) LM(f) = LM(h_{i}g_{i}) ∈ (LM(g_{i})) fertig! Beweis von (∗): Angenommen δ > LE(f). Wir produzieren Darstellungen f = ∑ ĥ_{i}ĝ_{i} mit LE(ĥ_{i}, g_{i}) < δ ∀ i und das ist ein Widerspruch! δ_{ij} := LE(h_{i}g_{j}), LT(h_{i})a_{i}X^{γ_{i}} Schriebe

\begin{aligned}∑ h_{i}g_{i} = ∑_{δ_{i}=δ} LT(h_{i})g_{i} & + & \underbrace{∑_{δ_{j}=δ}(h_{i} − LT(h_{i}))g_{i}}_{<δ} \\ & + & \underbrace{∑_{δ_{i}=δ} h_{i}g_{i}}_{<δ} \end{aligned}

LE(f) < δ ⟹ LE( ∑_{δ_{i}=δ} a_{i}X^{γ_{i}}) < δ

⟹^{Lemma 1.16} ∑ a_{i}X^{γ_{i}}g_{i} ∈ (S(X^{γ_{i}}g_{i}, X^{γ_{j}}g_{j})).

S(X^{γ_{i}}g_{i}, X^{γ_{j}}g_{j}) = \frac{X^{δ}}{X^{γ_{i}}LT(g_{i})}X^{γ_{i}}g_{i} − \frac{x^{γ}}{X^{γ_{i}}LT(g_{i})}X^{γ_{j}}g_{j} = X^{δ−γ_{ij}}S(g_{i}, g_{j})

mit γ_{ij} = kgV {LM(g_{i}), LM(g_{j})}

⟹ ∑_{δ_{i}=δ} LT(h_{i})g_{i} ∈ (X^{δ−γ_{jk}}S(g_{j}, g_{k})) ⊂ (g_{1}, …, g_{s})

⟹^{Div. Alg.} ∃ q_{j,k} : ∑_{δ_{i}=δ} LT(h_{i})g_{i} = ∑_{j,k} q_{j,k}S(g_{j}, g_{k})

⟹ ∃ p_{ijk} : a_{jk}S(g_{s}, g_{k}) = ∑_{i} p_{ijk}g_{i}

div. Alg. zeigt: wir können erreichen: LE(p_{ijk}, g_{i}) < δ.

Setze ĥ_{i} := \{ \begin{matrix}h_{i} & : & δ_{i} < δ \\ ∑_{j,k} p_{ijk} + (h_{i} − LT(h_{i})) & : & δ_{i} = δ \end{matrix}

1.18. BEISPIEL 21 Dann f = ∑ ĥ_{i}g_{i} wegen (∗) _{□}

1.18 Beispiel

Beispiel: G = {X − Z^{2}, Y − Z^{3}} ist Gröbner-Basis von (X − Z^{2}, Y − Z^{3}) bzgl. <_{lp} Was ist S(X − Z^{2}, Y − Z^{3}) = Y · (X − Z^{2}) − X · (Y − Z^{3}) = −Y Z^{2} + XZ^{3} reduzieren nach X − Z^{2}, Y − Z^{3} : −Y Z^{2} + XZ^{3} = Z^{3}(X − Z^{2}) + (−Z^{2})(Y − Z^{3}) + 0

1.19 Buchberger-Algorithmus

Algorithmus (Buchberger-Algorithmus)

 Sei < eine globale Ordnung:

Eingabe: f_{1}, …, f_{s} ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] Ausgabe: g_{1}, …, g_{s} ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] Gröbner-Basis bzgl. < für (f_{1}, …, f_{r}). Start: g_{1} = f_{1}, …, g_{r} = f_{r}, s = r

 Überprüfe Gröber-Kriterium:

∀ i, j : LE(S(g_{i}, g_{j})) ∈ {LE(g_{1}), …, LE(g_{s})} + ℕ^{n} Falls nein, s ⇝ s + 1, g_{s+1} := S(g_{i}, g_{j}) für (i, j) die (∗) verletzen.

 Weiter mit (∗)
 Falls ja, fertig nach 1.15!

Der Algroithmus bricht ab, denn S_{i} ⊂ ℕ^{n} ist die Menge der Leitexponente aus dem i-ten Schritt, so hat ⋃(S_{i} + N^{r}) ein endliches erzeugendes System ⊂ S_{1} ∪ ⋯ ∪ S_{a} nach dem Dicksons Lemma. “Nur” a Durchläufe sind nötig (nicht effizient, weil a sehr groß sein kann, auch wenn die Polynome einfach sind/aussehen). [benutzt: < ist Verfeinerung von <_{nat}, d.h. das gilt nur für globale Ordnung].

1.20 Beispiel

Beispiel: f_{1} = X^{10} + Y Z, f_{2} = Z^{10} + XY (Gröbner-Basis für <_{dp})

Gröbner − Basis <_{lp} X^{11}Z + Z^{100}
XY + Z^{10}
XZ^{90} − Y^{10}Z
X^{2}Z^{80} − Y^{9}Z
X^{3}Z^{70} − Y^{8}Z
⋮
X^{10} + Y Z

22 KAPITEL 1. MONOMENORDNUNG

Algebraische Mengen

Sei K ein beliebiger Körper (später algebraisch abgeschlossen)

2.1 Definition

Definition (Algebraische Mengen)

Für S ⊂ K[X_{1}, …, X_{n}] heißt V (S) := {a ∈ K^{n} | f(a) = 0, ∀ ∈ S}

(gemeinsame) Nullstellenmenge von S. (V “Varietät”) Teilmengen in K^{n} dieser Form heißen algebraische Mengen.

(a) Hyperfläche V (f), f ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] \ {0}

(b) V (S) = V ((S)), also reicht es für S Ideale zu betrachten

(c) Hilberster Basissatz: ∃ f_{1}, …, f_{r} ∈ K[X_{1}, …, X_{n}], (S) = (f_{1}, …, f_{r})

⟹ V (S) = V (f_{1}, …, f_{r}) = V (f_{1}) ∩ ⋯ ∩ V (f_{r})

(d) A ⊂ K^{1} algebraich ⟺ A = K^{1} oder A endlich.

2.2 Eigenschaften algebraischer Mengen

Satz (Eigenschaften algebraischer Mengen)

(a) ℑ ⊂ 𝔍 ⟹ V (ℑ) ⊃ V (𝔍)

(b) ∅, 𝔎^{n} ⊂ K^{n} sind algebraisch

(c) {a} ⊂ K^{n} ist algebraisch

(d) V (ℑ𝔍) = V (ℑ ∩ 𝔍) = V (ℑ) ∪ V (𝔍)

(e) V (∑ ℑ_{r}) = ⋂ V (ℑ_{r})

Beweis:

(a) klar

(b) ∅ = V (1), K^{n} = V (0)

(c) V (X_{1} − a_{1}, …, X_{n} − a_{n}) = (a_{1}, …, a_{n})

(d) ℑ𝔍 ⊂ ℑ ∩ 𝔍, 𝔍 (a) ⟹ V (ℑ𝔍) ⊂ V (ℑ ∩ 𝔍) ⊃ V (ℑ) ∪ V (𝔍). Umgekehrt: a ∉ V (ℑ) ∪ V (𝔍)

⟹ ∃ f ∈ ℑ, g ∈ 𝔍, f(a) ≠ 0, g(a) ≠ 0

⟹ (fg)(a) ≠ 0 ⟹ a ∉ V (ℑ𝔍)

(e) a ∈ V (∑ ℑ_{r}) ⟺ ∀ s∀ f_{r} ∈ ℑ_{r_{1}}, …, f_{r_{s}} ∈ ℑ_{r_{s}} f_{r_{1}}(a) + ⋯ + f_{r_{s}}(a) = 0 ⟺ f ∈ ⋂ V (ℑ_{r})

Bemerkung: Die V (ℑ) bilden daher die abgschlossenen Mengen einer Topologie, der Zariski-Topologie auf K^{n}.

2.3 Abstrakte topologische Räume

Definition (Topologie)

Eine Topologie auf einer Menge M ist ein System T von Teilmengen von M (T ⊂ 𝔓(M)) mit den folgenden Eigenschaften:

(a) ∈ T, M ∈ T

(b) ∀ U, V ∈ T ⟹ U ∩ V ∈ T

(c) U_{ν} ∈ T ⟹ ⋃ U_{ν} ∈ T Die so ausgezeichneten Teilmengen von M heißen offen, ihre Komplemnete abgeschlossen.

Topologischer Raum := Menge + Topologie

2.3.1 Beispiel

Beispiel:

1. Die triviale Topologie T = {∅, M}

2. Die diskrete Topologie T = 𝔓(M)

3. d Metrik auf M, so sei U ⊂ M offen :⟺ ∀ P ∈ U ∃ ε > 0 : B_{ε}(P) ⊂ U.

Solche Räume heißen metrisierbar.

4. M = {0, η}, T = {∅, M, {η}}

Auch Punkte (Einpunktige Mengen) können offen sein.

5. M = ℝ Zariski-Topologie

∅ ⊂ U ⊂ M offen ⟺ U = M \ endliche Menge

2.3.2 Interpretation

Eine Topologie verleiht eine Menge “Gestalt”, z.B. ℝ und S^{1} ⊂ ℝ^{2} sind als Mengen “gleich” (es existiert eine Bijektion) als Topologische Räume (mit den metrischen Topologien) aber grundverschieden (S^{1} kompakt, ℝ nicht).

2.4 Existenz von Nullstellen im alg. absch. Fall

Falls K nicht algebraisch abgeschlossen, so kann V (ℑ) = ∅ sein, obwohl ℑ ≠ K[X_{1}, …, X_{n}] : K = ℝ, n = 1, ℑ = (x^{2} + 1).

Satz (Hilbertscher Nullstellensatz, schwache Form) Ist K algebraisch abgeschlossen und ℑ ⊂ K[X_{1}, …, X_{n}], ℑ ideal, dann V (ℑ) ≠ 0

Beweis: Es existiert ein maximales Ideal 𝔪 ⊂ K[X_{1}, …, X_{n}] mit ℑ ⊂ 𝔪 (Satz 2.7)

L := K[X_{1}, …, X_{n}]/𝔪 ist Körpererweiterung von K, die endlich erzeugt ist als K-Algebra [d.h. ∃ K[X_{1}, …, X_{n}] ↠ L].

Satz 2.5 ⟹ L/K algebraisch.

K algebraisch abgeschlossen ⟹ L = K. Betrachte φ : K[X_{1}, …, X_{n}] ⟶^{/𝔪} L = K, x_{i} ⟼ a_{i}.

Dann (a_{1}, …, a_{s}) ∈ V (ℑ) : f ∈ ℑ ⟹ f ∈ 𝔪 = Krφ ⟹ f(a_{1}, …, a_{m}) = φ(f) = 0 ⟹ f ∈ V (ℑ) _{□}.

2.5 Lemma (Aus der Körpertheorie)

Lemma Sei L/K Körpererweiterung und L endlich erzeugt als K-Algebra. Dann ist L/K eindlicher algebraischer Körper.

Beweis: allgemeiner Fall: später (ganze Ringerweiterungen)

Für K überabzählbar [etwa für ℂ ⊂ K, aber etwa nicht für den algebraischen Abschluss von ℚ].

L = K[α_{1}, …, α_{n}] hat abzählbares Erzeugendessystem als K-UR. Wäre x ∈ L transzendent, dann wäre \frac{1}{x−β} , β ∈ K überabzählbares System K-lin. unabhäniger Elemente von L _{□}.

2.6 Existenz maximaler Ideale I

Die Existenz maximaler Ideale beruhrt auf das Lemma von Zorn. Sei (M, <) eine teilgeordnete menge und jede (total) geordnete Teilmenge S ⊂ M hat eine obere Schranke in M (x ∈ M, ∀ y ∈ S, y < x).

Das folgt aus dem Auswahlauxion.

2.7 Existenz maximaler Ideale II

Satz Sei R ein Ring, ℑ ⊂ R echtes Ideal, dann existiert 𝔪 ⊂ R maximales Ideal mit ℑ ⊂ 𝔪.

Index

trdeg, 4

algebraisch, 3 algebraisch abhängig, 3 algebraisch unabhängig, 3 Algebraische Abhängigkeiten, 3 algebraische Menge, 10 Algebraische Mengen, 23

Eigenschaften -, 23 algebraische Varietät, 10 Algebren, 7

Buchberger-Algorithmus, 21 Buchbergers Kriterium, 19

Dicksons Lemma, 15, 17 Divisionalgorithmus, 16

Eins, 5

Faktorringe, 5

Gröbnerbasen, 18

Hauptideal, 6 Hauptidealring, 6 Hilberster Basissatz, 23 Hilberter Basissatz, 18 Hilbertscher Nullstellensatz, 10 Homomorphismus, 6 Hyperfläche:, 23

Ideal, 5, 6 endlich erzeugtes -, 6 ein Ideal erzeugen, 6 maximales -, 5 monomiales -, 17

Integritätsbereich, 5 irreduzibel, 5

Körper, 5

Leitbegriffe, 14 Leitexponent, 14 Leitkoeffizient, 14 Leitmonom, 14 Leitterm, 14

Lokalisierung, 8 - an einem Element, 8

- an einem Primideal, 9 maximal, 3 metrisierbar, 24 Moduln, 9

R-Moduln, 9 Monoidringe, 5 Monomenordnung, 13 Monomiale Ideale, 17 Monomordnung, 13 multiplikativ abgeschlossen, 8

Noethersch, 6

Nullstellenmenge, 23

Ordnung, 13 globale -, 15 Graduiert revers-lexikographische Ordnung, 14 Lexikographische Ordnung, 14 lokale -, 15 Negative lexikographische Ordnung, 14

Polynomring, 5 Primideale, 7

R-Algebra, 7

endlich erzeugte, 7 R-Modul

zyklischer -, 9 R-modul

endlich erzeugte -, 9 reduziert, 15 Ring

Spektrum, 10 Ringe, 5

S-Polynome, 19

schwache Form des -, 25

Spektrum, 10

Standard-Gröbner-Basen, 18 Standardbasis, 18

Teilordnung, 13 Topologie, 24

Abstrakte topologische Räume, 24

distkrete -, 24

Menge abgeschlossen, 24 offen, 24 trivialie -, 24 Transzendensgrad, 3 Transzendente Körpererweiterungen, 3 Transzendenzbasen, 3 Transzendenzerzeuger, 3

System von, 3

Varietät, 23

Wohlordnung, 13

Zariski-Topologie, 24 zerlegbar, 10